Ga verder na de inhoud
Laat spelletjes niet aan het toeval over
Onderzoek

Laat spelletjes niet aan het toeval over

Tip voor wie een spelletje blad-steen-schaar wilt winnen: probeer te denken als een zelfrijdende auto. Hoe zit dat dan precies?

7 minuten
24 november 2020

De inzet van een spelletje blad-steen-schaar kan soms verrassend hoog zijn. Dus weet je maar beter hoe je het naar je hand kan zetten ...

De baas van een Japanse elektronicagigant liet een deel van zijn waardevolle collectie impressionistische kunst veilen, maar kon niet kiezen tussen twee grote veilinghuizen. Hij besloot dat een spelletje blad-steen-schaar het maar moest uitmaken. Het ene veilinghuis schreef zonder veel strategie ‘blad’ op een papiertje. Het andere verdiepte zich in de psychologie van het spel en kwam tot de conclusie dat ‘schaar’ de meest kansrijke openingszet is tegenover een nieuwe tegenstander. Met succes dus.

Wiskundig ingenieur Giovanni Samaey vertelt ons de anekdote om te illustreren dat schijnbare toevalsspelletjes niet altijd een kwestie van geluk zijn. Toch niet als de mens er – in dit geval letterlijk – een hand in heeft. Zo ontdekte een Chinese wetenschapper dat zijn studenten na een winnende zet bij blad-steen-schaar geneigd waren om het gekozen symbool te herhalen. Wie verloor, schakelde dan weer vaak over naar het volgende symbool in het rijtje.

Patronen op de speelplaats

Giovanni Samaey raadt aan om zelf op zoek te gaan naar patronen in reeksen. Zo kan je bijvoorbeeld opmerken dat je tegenstander – al dan niet bewust – altijd afwisselt: steen-blad-schaar-steen-blad-schaar ... Of dat hij, zoals in het Chinese onderzoek, een winnende zet steeds herhaalt. Of net niet.

Zodra je de patronen van je tegenstander doorhebt, kan je erop inspelen.

“Je moet natuurlijk een aantal keer spelen om dat te ontdekken”, zegt Samaey. “Maar zodra je de patronen doorhebt, kan je erop inspelen. Ik heb onlangs nog blad-steen-schaar gespeeld tegen mijn dochter van elf. Tijdens de eerste spelletjes moest ik haar strategie nog ontdekken. Ik stond 3-0 achter toen ik een patroon meende te zien. Uiteindelijk won ik nog met 5-4. Het was wel moeilijker dan verwacht, met heel veel gelijke spelen. Ze speelt het spel vaak op de speelplaats en had zelf ook al ontdekt dat je patronen kunt vinden: Als deze persoon twee keer hetzelfde doet, dan doet hij de derde keer iets anders.”

Je probeert dus een voorspelling te maken op basis van wat je weet uit het verleden en de huidige situatie. Zo werkt ook artificiële intelligentie, zegt Samaey. “Neem een zelfrijdende auto. Als die moet beslissen of een voetganger gaat oversteken of niet, kijkt hij in zijn geheugen. ‘Ik zal maar vertragen, want in alle voorbeelden van soortgelijke situaties die ik ken stak de voetganger in 90 procent van de gevallen over.’ Dat is hetzelfde principe als: ‘Mijn tegenstander zal waarschijnlijk ‘schaar’ tonen, want in bijna alle vorige sequenties die leken op deze deed hij dat ook.’”

Horloge als hulp

Wat als je merkt dat jouw tegenstander ook jouw strategie leest en meer spelletjes wint dan jij? Dan kan je de keuze tussen blad, steen en papier beter toch aan het toeval overlaten, zodat je tegenstander in de war raakt omdat hij geen patroon ziet in je zetten. Maar dat is makkelijker gezegd dan gedaan: mensen zijn niet in staat om compleet willekeurig te kiezen, ook al proberen ze dat.

Dat zie je ook in experimenten waarbij een leerkracht zijn leerlingen bijvoorbeeld vraagt om thuis 200 keer een munt op te gooien. Ze moeten telkens noteren of het kop of munt was, ‘k’ of ‘m’. Als de leerkracht die opdrachten binnenkrijgt, kan hij in een oogopslag zien wie de taak écht uitgevoerd heeft. Leerlingen die een reeks k’s en m’en op papier zetten zonder de munt te gooien, schrijven zelden drie keer na elkaar kop of munt op. Dat ziet er namelijk niet willekeurig genoeg uit. Terwijl het in reeksen van 200 vaker wel dan niet enkele keren zal voorkomen.

Maar terug naar ons spel: hoe kunnen we het toeval toch laten kiezen? Giovanni Samaey heeft een tip: “Je kan bijvoorbeeld een blik werpen op je horloge. Als de secondewijzer tussen 12 en 4 staat, kies je ‘blad’; staat hij tussen 4 en 8, dan toon je ‘papier’; en staat hij in het laatste derde van de wijzerplaat, dan ga je voor ‘schaar’. Als je een echt willekeurige keuze wilt maken, móet je wel dat soort externe hulp inroepen.”

Steentje in het midden

Aan spellen die volledig van toeval afhangen is voor wiskundigen weinig lol te beleven. Denk aan ganzenbord, waar de dobbelstenen je pad en dus ook je winst of verlies bepalen. Leuker dan het spel spelen is er wat wiskunde op los laten, vindt Samaey. Zo blijkt er 23% kans te zijn op een gelijkspel als je met z’n tweeën speelt: de ene belandt in de put en de andere in de gevangenis. Of je kan – als je weet op welke posities alle spelers staan – de kansen op eindwinst berekenen voor elk van hen. Maar menselijke keuzes of strategieën spelen dus geen rol bij ganzenbord. “Verschrikkelijk spel”, concludeert Samaey.

Leuker dan het spel ganzenbord spelen is er wat wiskunde op los laten.

Dezelfde appreciatie heeft hij voor vier-op-een-rij. Niet verwonderlijk, want dat is een voorbeeld van een zogenaamd ‘opgelost spel’. Hier maak je als speler dan wel keuzes, maar voor elke situatie kan je berekenen wat je moet doen om te winnen. En dat hoef je niet eens zelf te doen: er bestaan apps die je dat vertellen. De speler die begint, kan altijd winnen als hij zijn eerste steentje in het midden dropt. “Zodra ik dat wist, interesseerde het me niet meer”, zegt Samaey. “Typisch voor wiskundigen: als bewezen is dat er een oplossing bestaat, hoeven we ze soms niet eens meer te vinden (lacht).”

Schaken in een boom

Dan is schaak heel andere koek. Ter vergelijking: een traditioneel vier-op-een-rij-bord van 6 op 7 kan je op 4.531.985.219.092 manieren vullen met steentjes, het aantal mogelijke schaakspelletjes dat je zou kunnen spelen wordt geschat op zo’n 10120. “Dat is veel meer dan het aantal atomen in het universum”, zegt Samaey. “Vanuit elke positie is het aantal mogelijke zetten enorm groot, en de hoeveelheid situaties die daar in de volgende zetten uit voortvloeien is gigantisch. Als je vijf zetten vooruit wil denken, moet je in je hoofd een hele boom van mogelijke situaties uittekenen. Computerprogramma's die dat analyseren moeten bliksemsnel beslissen: welke takken van die boom moeten we niet verder bekijken omdat ze niet interessant zijn?”

En dan is schaak niet eens de hardste noot om te kraken voor een computer: “Bij het bordspel Go zijn er nog meer mogelijke vertakkingen. Maar ook daar is er inmiddels een computerprogramma ontwikkeld – AlphaGo – dat de mens kan kloppen.”

Als je tijdens een spelletje schaak vijf zetten vooruit wil denken, moet je in je hoofd een hele boom van mogelijke situaties uittekenen.
Als je tijdens een spelletje schaak vijf zetten vooruit wil denken, moet je in je hoofd een hele boom van mogelijke situaties uittekenen.

Durf speelt mee

Een goed spel moet uitgebalanceerd zijn, vindt Samaey. Een beginner moet een kans maken, maar je wilt ook dat spelers beter worden naarmate ze meer spelen. Zijn wiskundigen met hun strategisch doorzicht de tegenstand niet sowieso een stap voor? “Om te winnen moet je vaak een risico nemen dat ofwel heel goed uitpakt ofwel zwaar verlies betekent. Als je te beredeneerd speelt, met een uitgekiende strategie, dan mijd je die risico’s. Daarom eindig ik zelden eerst of laatst, maar meestal tweede of zo.”

In het dagelijks leven passen we vaak elementen uit de speltheorie toe zonder het zelf te beseffen. “Stel: je bedrijf organiseert een event met een hele reeks taken die verdeeld moeten worden. Dan moet je goed nadenken: ‘Hap ik toe bij het eerste taakje, of wacht ik af in de hoop dat er iets komt dat ik écht leuk vind?’ Met het risico dat je uiteindelijk een taak toebedeeld krijgt die je minder graag doet dan die eerste, maar ook met de mogelijkheid dat je helemaal niets hoeft te doen. Dat zijn situaties die je met speltheorie kunt analyseren. Maar het is natuurlijk gezonder om gewoon te overleggen met je collega’s zonder overal een tactisch steekspelletje van te willen maken.”

Dit artikel is deels gebaseerd op het hoofdstuk ‘Van ganzenbord tot Machiavelli: wanneer speltheorie ernst wordt’ uit het boek X-factor, 20 verhalen over de onzichtbare kracht van wiskunde van Giovanni Samaey en Joos Vandewalle.